Что и как считали в древности. Исследовательская работа

Автор – Дубов.В.Д.
Ученик 5 класса
Руководитель – Гантова Ольга Юрьевна
Российская Федерация Оренбургский район. МБОУ №35.
Тема: Как люди считали в старину и как писали
цифры

На уроке математики учитель рассказывал о
различных системах счёта. И я решил узнать подробнее о
них и других древних системах счёта.
Цель: Поиск математической и исторической
литературы для рассмотрения всевозможных систем
счисления.
Задачи:
1) Изучение учебной, справочной, научнопопулярной и занимательной литературы.
2) Сравнение древних систем счисления.
3) Ознокомление с применением древних систем
счисления в современности.

Как люди научились считать
Считать научились ещё в незапамятные
времена. Сначала люди различали
просто один предмет или много.
Прошло очень много времени, прежде
чем появилось число два. Счёт парами
очень удобен, и не случайно у
некоторых племён Автралии и
Полинезии до самого последнего
времени были только два
числительных: один и два. А все числа,
больше двух, получали названия в виде
сочетаний этих двух числительных.
Например: три-один и два, четыре-два
и два, два и один и т. д.

Наиболее древней и простой
«счетной машиной» издавна
являются пальцы рук и ног. И даже
в наше время еще пользуются этим
«счетным прибором», который
всегда при нас. На пальцах можно
решать примеры не только в
пределах десяти. В древние
времена люди ходили босиком.
Поэтому они могли пользоваться
для счета пальцами как рук, так и
ног. Таким образом они могли,
казалось бы, считать лишь до
двадцати. Но с помощью этой
«босоногой машины» люди могли
достигать значительно больших
чисел, так как они фактически
пользовались двадцатеричной
системой счисления: 1 человек - это
20, 2 человека - это два раза по 20 и
т.д.

Двадцатеричная система древних
майя
Древние майя пользовались
двадцатеричной системой
счисления, или счета. Почему
именно число 20 наряду с единицей
стало основой их счета, сейчас
невозможно установить с
достаточной достоверностью. Но на
помощь приходит простая логика.
Она подсказывает, что, скорее
всего, сам человек был для древних
майя той идеальной
математической моделью, которую
они и взяли за единицу счета.
Действительно, что может быть
естественней и проще, коль скоро
сама природа «расчленила» эту
единицу «счета» на 20 единиц
второго порядка по числу пальцев
на руках и ногах?

Древние майя записывали цифровые знаки, не горизонтально, а
вертикально, снизу вверх, как бы возводя некую этажерку из цифр.
Поскольку счет был двадцатеричным, то каждое начальное число
следующей верхней позиции, или порядка, было в двадцать раз больше
своего соседа с нижней полки «этажерки майя» (если бы майя
пользовались десятеричной системой, то число было бы больше не в
двадцать, а только в десять раз). На первой полке стояли единицы, на
второй - двадцатки и т. д.
Сначала майя использовали для обозначения чисел иероглифические
символы:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20

Затем они стали записывать свои цифровые знаки в виде точек и тире,
причем, точка всегда означала единицы данного порядка, а тире -
пятерки.
0
0
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9

На обнаруженной в штате
Вераскус (Мексика) плите с
помощью точек и черточек
записаны числа майя.
После реставрации плиты
удалось прочесть, что эти
числа означают 7
периодов по 400 «лет»,
плюс 16 периодов по 20
«лет», плюс 6 «лет» по
360 дней каждый, плюс
16 «месяцев» по 20 дней
каждый, плюс 18 дней.

Парижский кодекс майя
Дрезденский кодекс майя
Мадридский кодекс майя

Древнеегипетская десятичная система
В древнеегипетской системе счисления,
которая возникла во второй половине
третьего тысячелетия до н.э.,
использовались специальные цифры
для обозначения чисел. Числа в
египетской системе счисления
записывались как комбинации этих
цифр, в которых каждая из них
повторялась не более девяти раз.
Число 345 древние египтяне
записывали так:

Московский папирус –
самый древний
памятник египетской
математики (ок. 1850 г.
до н.э.). Его приобрел в
1893 г. русский
собиратель Владимир
Семенович Голенищев
(1856-1947). С 1912 года
он хранится в Москве,
в Музее
изобразительных
искусств им. Пушкина.
Московский папирус
Размер папируса 544х8
см. Он содержит
решения 25 задач.

Папирус Райнда
Папирус Райнда был
составлен ок. 1550 г. до
н.э. писцом Ахмесом.
Приобретен английским
собирателем Генрихом
Райндом в 1858 г. и
хранится, как и Кожаный
свиток, в Британском
музее. Его размеры
544х33 см. Он содержит
84 задачи. Представляет
собой конспект писцаучителя Ахмеса.

Вавилонская шестидесятеричная система
В отличии от египетской, в
вавилонской системе
использовалось всего 2
символа: “прямой” клин -
для обозначения единиц и
“лежачий” - для десятков.
Чтобы определить значение
числа необходимо
изображение числа разбить
на разряды справа налево.
Новый разряд начинается с
появления прямого клина
после лежачего. В качестве
примера возьмем число 32:

Число 60 снова обозначалось тем же
знаком, что и 1. Поэтому вавилонская
система счисления получила название
шестидесятеричной.
Число 137 вавилонский учёный
представлял себе так:
2 шестидесятки + 17 единиц =
137.
Вавилонская глиняная
табличка с примечаниями.
Шестидесятеричная вавилонская система
- первая система счисления, частично
основанная на позиционном принципе.
Данная система счисления используется
и сегодня, например, при определении
времени - час состоит из 60 минут, а
минута из 60 секунд.

Римская система счисления
Древние римляне пользовались нумерацией,
сохраняющейся до настоящего времени под
именем "римской нумерации", в которой числа
изображаются буквами латинского алфавита.
Методы определения значения числа:
Значение числа равно сумме значений его цифр.
Например, число 32 в римской системе
счисления имеет вид
XXXII=(X+X+X)+(I+I)=30+2=32
1. Если слева от большей цифры стоит меньшая, то
значение равно разности между большей и
меньшей цифрами. При этом, левая цифра
может быть меньше правой максимум на один
порядок: так, перед L(50) и С(100) из «младших»
может стоять только X(10), перед D(500) и
M(1000) - только C(100), перед V(5) - только
I(1); число 444 в рассматриваемой системе
счисления будет записано в виде CDXLIV = (DC)+(L-X)+(V-I) = 400+40+4=444.
2. Значение равно сумме значений групп и цифр, не
подходящих под 1 и 2 пункты.

О происхождении римских цифр достоверных
сведений нет. В римской нумерации явственно
сказываются следы пятеричной системы
счисления. В языке же римлян, ни каких следов
пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были
заимствованы римлянами у другого народа
(скорее всего этрусков). Такая нумерация
преобладала в Италии до XIII века, а в других
странах Западной Европы – до XVI века.
В Санкт-Петербурге стоит памятник Петру I.
На гранитном постаменте памятника есть
римское число: MDCCLXXXII = 1000 + 500 +
100 + 100 + 50 + 3*10 + 2 = 1782 год. Это год
открытия памятника.
Римскими цифрами пользовались очень
долго. Еще 200 лет назад в деловых
бумагах числа должны были обозначаться
римскими цифрами (считалось, что
обычные арабские цифры легко
подделать). С нею мы достаточно часто
сталкиваемся в повседневной жизни. Это
номера глав в книгах, указание века, числа
на циферблате часов, и т. д.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, отдаленно
напоминающие римскую. С их помощью сборщики податей заполняли квитанции
об уплате подати и делали записи в податной тетради. Например, 1232 рубля 24
копейки изображалось так: Вот текст законов об этих, так называемых ясачных
знаках:
«Чтобы на каждой квитанции, выдаваемой Родовитому Старосте, от
которого внесен будет ясак, кроме изложения словами, было
показано особыми знаками число внесенных рублей и копеек так,
чтобы сдающие простым счетом сего числа могли быть уверены в
справедливости показания. Употребляемые в квитанции знаки
означают:
звезда – тысяча рублей;
колесо – сто рублей;
квадрат – десять рублей;
X – один рубль;
I I I I I I I I I I – десять копеек;
I – копейка.

Двенадцатеричная система счисления
Довольно широкое распространение
имела двенадцатеричная система
счисления.
Происхождение её тоже связано со
счетом на пальцах. Считали большим
пальцем руки - фаланги остальных
четырёх пальцев (всего их 12),
перебирая их по очереди. Затем число
12 принимается за единицу следующего
разряда и т.д. Элементы
двенадцатеричной системы счисления
сохранились до сих пор.
Элементы двенадцатеричной
системы счисления сохранились
в Англии в системе мер (1 фут =
12 дюймам) и в денежной системе
(1 шиллинг = 12 пенсам). Числа в
английском языке от одного до
двенадцати имеют свое название,
последующие числа являются
составными.

Сторонники двенадцатеричной системы появились еще в XVI веке. В более
позднее время к их числу принадлежали столь выдающиеся люди, как Герберт
Спенсер, Джон Квинси Адамс и Джордж Бернард Шоу. Герои романа Г. Дж. Уэллса
«Когда спящий проснется» пользуются двенадцатеричной системой счисления
вплоть до 2100 года. Существует даже Американское двенадцатеричное
общество, выпускающее два периодических издания: «Двенадцатеричный
бюллетень» («Тhe Doudecimal Bulletin») и «Руководство по двенадцатеричной
системе» («Manual of the Dozen System»). Всех «двенадцатеричников» общество
снабжает специальной счетной линейкой, в которой в качестве основания
используется 12. Двенадцатеричная система счисления применяется эльфами в
книгах Дж. Р. Р. Толкина.
Герберт Спенсер
Джон Квинси Адамс
Джордж Бернард Шоу
Герберт Джордж
Уэллс

Алфавитные системы счисления
Алфавитные системы счисления представляют особую группу. В
них для записи чисел использовался буквенный алфавит. Примером
алфавитной системы счисления является славянская. У одних
славянских народов числовые значения букв устанавливались в
порядке следования букв славянского алфавита, у других, в
частности у русских, роль цифр играли не все буквы, а только те,
которые имеются в греческом алфавите.

Славянская система счисления сохранилась в
богослужебных книгах

Греческая система счисления была основана на использовании
букв алфавита. Аттическая система, бывшая в ходу с 6–3 вв. до н.э.,
использовала для обозначения единицы вертикальную черту, а для
обозначения чисел 5, 10, 100, 1000 и 10 000 начальные буквы их
греческих названий. В более поздней ионической системе
счисления для обозначения чисел использовались 24 буквы
греческого алфавита и три архаические буквы. Кратные 1000 до
9000 обозначались так же, как первые девять целых чисел от 1 до 9,
но перед каждой буквой ставилась вертикальная черта. Десятки
тысяч обозначались буквой М (от греческого мириои – 10 000),
после которой ставилось то число, на которое нужно было
умножить десять тысяч
Аттическая система
Ионическая система

Десятичная система счисления
Самая известной и
используемой в настоящее
время системой счисления –
является десятичная система.
Изобретение десятичной
системы счисления относится к
главным достижениям
человеческой мысли. Без нее
вряд ли могла существовать, а
тем более возникнуть
современная техника. Причина,
по которой десятичная система
счисления стала общепринятой,
вовсе не математическая. Люди
привыкли считать в десятичной
системе счисления, потому что
у них по 10 пальцев на руках.
Десятичная система
впервые появилась в
Индии примерно в VI веке
новой эры. Индийская
нумерация использовала
девять числовых символов
и нуль для обозначения
пустой позиции.

Абу
Абдуллы Мухаммед бен
Муса аль-Маджуса альХорезми
Решающую роль в распространении
индийской нумерации в арабских странах
сыграло руководство, составленное в
начале IX века Мухаммедом Аль Хорезми.
Оно было переведено в Западной Европе
на латинский язык в XII веке. В XIII веке
индийская нумерация получает
преобладание в Италии. В других странах
она распространяется к XVI веку.
Европейцы, заимствовав нумерацию у
арабов, называли ее "арабской". Это
исторически неправильное название
удерживается и поныне.
Из арабского языка заимствовано и
слово "цифра" (по-арабски "сыфр"),
означающее буквально "пустое место"
(перевод санскритского слова "сунья",
имеющего тот же смысл). Это слово
применялось для названия знака пустого
разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII
века, хотя еще в XV веке появился
латинский термин "нуль" (nullum - ничто).

В древности цифры этой системы изображались с углами
Это было не случайно: каждая цифра обозначает число
по количеству углов в ней. Например, 0 – углов нет, 1 –
один угол, 2 – два угла и т.д.

Александр Сергеевич Пушкин
предложил свой вариант
формы арабских чисел. Он
решил, что все десять
арабских цифр, включая нуль,
помещаются в магическом
квадрате.

Заключение
Познакомившись с древними системами
счета, сделала вывод, что развитие
числа и системы счисления было
долгим и трудным. И отголоски
использования различных древних
систем счета нашли отражение и в
нашем современном мире.
Всем этим системам
свойственны два
недостатка, которые
привели к их вытеснению
другими: необходимость
большого числа различных
знаков, особенно для
изображения больших
чисел, и, что еще важнее
неудобство выполнения
арифметических операций.

Система вавилонян сыграла
большую роль в развитии
математики и астрономии, и мы до
сих пор делим час на 60 минут, а
минуты на 60 секунд. Следуя
примеру вавилонян, мы и
окружность делим на 360 частей
(градусов), а 1градус на 60минут.
Существует и шестидесятилетний
цикл в названиях года по
календарю ариев. В целом
шестидесятеричная система
счисления громоздка и неудобна.
По причине неудобства и большой
сложности в настоящее время
римская система счисления
используется там, где это
действительно удобно: в литературе
(нумерация глав), в оформлении
документов (серия паспорта, ценных
бумаг и др.), в декоративных целях на
циферблате часов и в ряде других
случаев.

Нередко и мы сталкиваемся в быту с двенадцатеричной системой
счисления: чайные и столовые сервизы на 12 персон, комплект
носовых платков - 12 штук. Время считается тоже в этой системе 12
месяцев, 24 часа в сутках,12-летний цикл в названиях года по
китайскому календарю.

Список использованных информационных ресурсов
1. http://galachca.narod.ru/perwobyt.htm http://pirates-life.ru/forum/961415-1
2. http://www.bibliotekar.ru/maya/12.htm
3. http://comp-science.hut.ru/Demenev/files/history.htm
4. http://technomag.edu.ru/doc/128489.html
5. http://informaticslib.ru/books/item/f00/s00/z0000003/st004.shtml
6. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A4%D0%B0%D0%B9%D0%BB:Ybc
7289-bw.jpg
Литература
1. Депман И.Я. Виленкин Н.Я За страницами учебника математики.
Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы
М.»Просвещение» 1989г.
2. Глейзер Г.И. История математики в школе: IV – VI кл. Пособие для
учителей. – М.: Просвещение, 1981.
3. Депман И.Я. История арифметики. Пособие для учителей. – М.:
Просвещение, 1965.
4. Котов А.Я. Вечера занимательной арифметики. М.:
Просвещение,1967

Слайд 1

Слайд 2

Слайд 3

Слайд 4

Слайд 5

Слайд 6

Слайд 7

Слайд 8

Слайд 9

Слайд 10

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

Слайд 18

Слайд 19

Слайд 20

Презентацию на тему "Как считали в древности" (4 класс) можно скачать абсолютно бесплатно на нашем сайте. Предмет проекта: Математика. Красочные слайды и иллюстрации помогут вам заинтересовать своих одноклассников или аудиторию. Для просмотра содержимого воспользуйтесь плеером, или если вы хотите скачать доклад - нажмите на соответствующий текст под плеером. Презентация содержит 20 слайд(ов).

Слайды презентации

Слайд 1

Слайд 2

Первобытные народы считают

Числа получают имена

Операции над числами

Древняя Греция Древний Рим

Шумерская клинопись

Древний Египет Вавилония Индия и Китай

Слайд 3

Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: один и два. Туземцы считали так: 1 - «урапун» 2 - «окоза» 3 - «окоза - урапун» 4 - «окоза - окоза» 5 - «окоза - окоза - урапун». . . . . Все остальные числа - «МНОГО» ! Видно, что люди освоили только небольшое количество целых чисел.

Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся.

Слайд 4

Туземцы Новой Гвинеи загибают один за другим пальцы руки, приговаривая «бе - бе - бе…». Досчитав до ПЯТИ, говорит «ибон - бе» (РУКА). Затем загибают пальцы другой руки «бе - бе..», пока не доходит до «ибон - али» (ДВЕ РУКИ). Для дальнейшего счёта используются пальцы ног, а затем….

руки и ноги кого-нибудь другого!

Число употребляется в смысле

Слайд 5

Однако, у большинства народов числа, которыми считали «деньги» (а в качестве денег в основном служил скот), постепенно вытеснили все остальные. Они-то и стали теми универсальными числами, которые позволили считать любые предметы.

Числа начинают получать имена

Слайд 6

Так, индивидуальные названия получили числа меньше 10, а также десять, сто, тысяча.

С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения.

С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай "сам-двадцать", т. е. в двадцать раз больше собрали, чем посеяли. Наконец, когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления.

Слайд 7

В середине V в. до н.э. В Малой Азии, где были древнегреческие колонии, появилась система счисления нового типа -

Её обычно называют ионийской. В этой системе числа обозначались при помощи букв алфавита, над которыми ставились черточки. Первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять 10, 20...90 и следующие девять-числа 100, 200..900. Так можно было обозначать любое число до 999.

алфавитная нумерация

Слайд 8

Для тысяч употреблялись опять первые девять букв, но - с косой черточкой слева внизу. Для числа 10000 употреблялся знак М,

Над знаком ставилось число, обозначающее количество мириад. Так можно было обозначить все числа до мириады мириад, т.е. 108.

это число называлось МИРИАДОЙ

Великий математик, механик и инженер древности

посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий приём наименования сколь угодно больших чисел.

АРХИМЕД (III в. до н.э.)

Слайд 9

(«Псаммит»). Чтобы решить поставленную задачу, Архимед все числа меньше мириады мириад объединяет в первую и называет их первыми числами. Вторые числа от 108 до 1016 …И далее можно наращивать разряды. Способ Архимеда близок к позиционному,

"Исчисление песка"

прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления.

НО понадобилось ещё около 1000 лет,

Слайд 10

ЦИФРЫ В ДРЕВНЕМ РИМЕ

В римской системе имеются специальные знаки для: I - 1 VI - 6 II - 2 VII - 7 III - 3 VIII - 8 IV - 4 IX - 9 V - 5 X - 10 L - 50 D - 500 C - 100 M -1000

Остальные числа записываются при помощи этих символов с применением сложения и вычитания. Число 444 запишется в римской системе так Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы пользуемся. Запись чисел получается намного длиннее. В римской системе есть и еще один существующий недостаток: она не дает способа для записи сколь угодно больших чисел.

Слайд 11

Вот принес земледелец выращенный им лук сборщику податей в деревне стран Шумер. "Сум!"- сказал сборщик, потому что "сум" по-шумерски значило «лук»- и нарисовал пучок лука на сырой глиняной табличке, которую держал в руке. Шумерские счетоводы годами рисовали рыб и птиц, скот и растения. Четкие плавные линии требовали много труда, да и все равно они плохо сохраняли свою форму. Потом все знаки стали чертить на глине так, что они оказались повернутыми набок.

Почему так получилось? Дело в том, что сначала писали на глине столбцами сверху вниз и каждый следующий столбец начинали левее предыдущего. Но при этом рукой смазывали то, что было написано перед этим. Поэтому плитку стали поворачивать на четверть оборота и стали писать те же самые знаки строчками, слева направо (и каждую следующую строку начинали ниже предыдущей).

Слайд 12

Перевёрнутые птицы и животные оказывались ни на что не похожи. Это-то и привело счетоводов к любопытному открытию. Они поняли, что вовсе ни к чему делать похожие рисунки. На этом перемены не кончились. Избавились и от извилистых линий, а просто вдавливали стиль в глину и сразу отнимали его. На глине оставались четкие клинообразные следы. Это так и называется - КЛИНОПИСЬ.

Годится любой значок, лишь бы все условились,

что он будет обозначать.

Слайд 13

"А для низкой жизни были числа, Как домашний подъяремный скот, Потому что все оттенки смысла Умное число передает".

Русский поэт Николай Гумилев выразил значение этого открытия словами:

Слайд 14

Слайд 15

Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел - фактически представлением числа

по двоичной системе

для десяти тысяч - поднятый кверху палец, сто тысяч - лягушку, миллион - человек с поднятыми руками, десять миллионов - вся Вселенная.

Как же считали древние египтяне?

Слайд 16

ВАВИЛОНИЯ

Первой известной известной нам позиционной системой счисления была

Вавилоняне поступали так: записывали все числа от 1 до 59 по десятичной системе, применяя принцип сложения. При этом они пользовались всегда двумя знаками: прямым клином для обозначения 1 и лежачим клином для 10. Эти знаки и служили цифрами в их системе. Число 60 снова обозначалось тем же знаком, что и 1, т.е. .

вавилонян, возникшая примерно 2500 - 2000 лет до н.э. Основанием ее служило число 60.

шестидесятеричная система

Как же вавилоняне записывали свои цифры?

Слайд 17

Так же обозначались и все другие степени 60. Таким образом, «цифры», т.е. все числа от 1 до 59, вавилоняне записывали по десятичной непозицион-ной системе, а число в целом - по позиционной системе с основанием 60. Поэтому-то мы и называем их систему шестидесятеричной. Но нумерация вавилонян имела и еще одну важную особенность:

И если был изображён прямой клин, то без дополнительных пояснений нельзя было определить, какое число записано: 1, 60, 3600 или какая - нибудь другая степень 60. Впоследствии

в ней не было знака для НУЛЯ

вавилоняне ввели специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятичного разряда.

Слайд 18

В Индии и Китае.

Позиционные системы счисления возникли независимо одна от другой в древнем Двуречье, у майя и в Индии. В древней Индии и Китае существовали системы записи, построенные на принципе. В таких системах для записи одинакового числа единиц, десятков,сотен или тысяч применяются одни и те же символы, но после каждого символа пишется название соответствующего разряда.

Что привело людей к этому открытию?

МУЛЬТИПЛИКАТИВНОМ

Текст должен быть хорошо читаемым, иначе аудитория не сможет увидеть подаваемую информацию, будет сильно отвлекаться от рассказа, пытаясь хоть что-то разобрать, или вовсе утратит весь интерес. Для этого нужно правильно подобрать шрифт, учитывая, где и как будет происходить трансляция презентации, а также правильно подобрать сочетание фона и текста.

Важно провести репетицию Вашего доклада, продумать, как Вы поздороваетесь с аудиторией, что скажете первым, как закончите презентацию. Все приходит с опытом.

Правильно подберите наряд, т.к. одежда докладчика также играет большую роль в восприятии его выступления.

Старайтесь говорить уверенно, плавно и связно.

Старайтесь получить удовольствие от выступления, тогда Вы сможете быть более непринужденным и будете меньше волноваться.

Для записи чисел древние египтяне употребляли следующие иероглифы, означающие (последовательно): единица, десять, сто, тысяча, десять тысяч, сто тысяч (лягушка), миллион (человек с поднятыми руками), десять миллионов. Полагают, что иероглиф для сотни изображает измерительную веревку, для тысячи - цветок лотоса, для 10 000 - поднятый кверху палец, а для 10000000-всю Вселенную. Все остальные числа составлялись из основных с помощью только одной операции - сложения.

При этом запись производилась не слева направо, как у нас, а справа налево. Число 15, например, записывалось так: А число 444 писали так: Мы видим, что древнеегипетская нумерация похожа на римскую, только при записи чисел не употребляется вычитание. Знакомясь с римской нумерацией, мы убедились, до чего неудобно умножать числа, записанные в непозиционной системе. Как же считали древние египтяне? Оказывается, умножение и деление они производили путем последовательного удвоения чисел. Пусть, например, надо умножить 19 на 37. Египтяне последовательно удваивали число 37, причем в правом столбце записывали результаты удвоения, а в левом - соответствующие степени двойки.

1 37 2 74 4 148 8 296 16 592 Удвоение продолжалось до тех пор, пока не оказывалось, что из чисел левого столбца можно составить множитель (в нашем примере 19=1+2+16). Египтяне отмечали соответствующие строки вертикальными черточками и складывали те числа, которые стоят в этих же строках справа. В данном случае надо сложить 37+74+592=703. Так получали произведение,; Если теперь число 703 нужно было разделить на 19, то египтяне начинали последовательно удваивать делитель и продолжали это до тех пор, пока числа правого столбца оставались меньше 703. Затем из чисел правого столбца они пытались составить делимое, и тогда сумма соответствующих чисел в левом столбце давала делитель: В данном случае 703=608+76+19, т. е. частное будет 1+4+32=37. Если бы делимое не делилось без остатка на делитель, то его не удалось бы составить из чисел правого столбца. У нас получилось бы и частное и остаток.

Египетский способ умножения не труден, но он требует очень большого количества операций, даже при умножении двузначных чисел. Если бы пришлось перемножать таким же образом очень большие числа, мы не могли бы обойтись без помощи машины. Заметим также, что для умножения и деления египтяне пользовались фактически представлением числа по двоичной системе.

Алфавитные нумерации. Псаммит Мы видели, что непозиционные нумерации малоудобные: запись чисел в них очень длинна, арифметические операции производить трудно. По мере развития торговли и ремесла эти неудобства становились все чувствительнее, и вот в Малой Азии, где были древнегреческие колонии, которые вели оживленную торговлю, в серединеVв. до н. э. появилась система счисления нового типа, так называемая алфавитная нумерация. Ее обычно называют ионийской.

В этой системе числа обозначались при помощи. букв алфавита, над которыми ставились черточки: пер-’ вые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять - числа 10, 20, 30 до 90 и следующие девять - числа 100, 200 до 900. Таким образом можно было обозначать любое число до 999.Для обозначения чисел 1000, 2000, …, 9000 греки употребляли те же буквы, что и для чисел 1, 2, …, 9, но только при их записи ставили косую черточку слева внизу.

Как это делалось, видно из прилагаемого рисунка. Далее, для числа 10 000 употреблялся знак - это число называлось мириадой, две мириады, т. е. 20000, обозначались так: . Этим способом можно было обозначить все числа до мириады мириад, т. е. до 108. Более высокие десятичные разряды уже не могли быть записаны в ионийской нумерации и не имели названия в древнегреческом языке. Великий математик, механик и инженер древности Архимед (III в. до н. э.) посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий прием наименования сколь угодно больших чисел.

Как считали в древности? Как считали в старые времена?

В течение тысячелетий создавали народы легенды и мифы, отражая в них свои мечты и чаяния. Не умея летать как птицы или бежать быстрее лани, люди придумывали сказки о ковре-самолете или сапогах-скороходах. Страдая от голода, они мечтали о скатерти-самобранке. Но больше всего хотелось им облегчить свой тяжелый труд. Так возникали сказки о Емеле и его чудо-печке, лампе Алладина, о чудесных механических и волшебных помощниках и многие другие.

Но, пока поэты писали стихи, а писатели - романы, ученые делали первые шаги по созданию автоматов. Еще в древности были изобретены автоматы, отпускавшие в храмах «святую» воду, когда в них опускали монетку. Другие автоматы открывали двери при приближении жреца и творили другие «чудеса», заставлявшие народ трепетать перед всемогуществом богов. Греческие мастера построили довольно сложные механические игрушки, в том числе механический театр, в котором разыгрывались целые представления. Эти чудесные механизмы были единичны, широкого применения они не получили, т.к. основная часть населения была необразованна. Однако жизнь заставила людей научиться считать и разбираться в механизмах.

Сначала люди считали «в уме», затем начали использовать подручные средства – костяные, глиняные и деревянные бусины, даже собственные пальцы помогали людям.

Самые древние устройства счета появились не сразу. Сначала потребность в счете была небольшой, и людям хватало собственных пальцев и пальцев своих соседей для того, чтобы подсчитать военную добычу, число охотничьих трофеев, ножей, копий, воинов и т.д. Письменность в глубокой древности развита была слабо, а считать необходимо было каждому человеку, поэтому и приходилось употреблять для счёта собственные пальцы, зарубки на костях, камешки, бусы и другие небольшие предметы. Но когда люди стали возделывать землю и приручили некоторых животных, им потребовалось гораздо больше предметов для счета и умение выполнять действия с числами.

Чтобы с успехом заниматься сельским хозяйством, необходимы были арифметические знания. Без подсчета дней трудно было определить, когда надо засевать поля, когда начинать полив, когда ждать потомства от животных. Надо было знать, сколько овец в стаде, сколько мешков зерна положено в амбары и т.д.

Несколько десятков лет назад ученые-археологи обнаружили стойбище древних людей. В нем они нашли волчью кость, на которой 30 тысяч лет тому назад какой-то древний охотник нанес пятьдесят пять зарубок. Видно, что, делая эти зарубки, он считал по пальцам. Узор на костисостоялиз одиннадцати групп, по пять зарубок в каждой. При этом первые пять групп он отделил от остальных длинной чертой. Древнейшим артефактом такого рода является «кость Ишанго», найденная в Конго (возраст - около двадцати тысяч лет). Это берцовая кость бабуина, покрытая засечками.

До сих пор в русском языке сохранилось слово«бирка». Теперь так называют дощечку с номером или надписью, которую привязывают к кулям с товарами, ящикам, тюкам и т. д. А еще двести-триста лет тому назад это слово означало совсем иное. Так называли куски дерева, на которых зарубками отмечали сумму долга или подати. Бирку с зарубками раскалывали пополам, после чего одна половина оставалась у должника, а другая - у заимодавца или сборщика податей. При расчете половинки складывали вместе, и это позволяло определить сумму долга или подати без споров и сложных вычислений.

Древние люди изобрели так называемый «пальцевой счет»- когда не только числа до нескольких сотен изображались на пальцах рук, но даже арифметические действия выполнялись с помощью пальцев (в русском языке слово«пять» напоминает «пясть» - часть кисти руки, производное от него - «запястье» - часто используют и сейчас). Древние египтяне полагали, что в загробном мире душу умершего подвергают экзамену по счету на пальцах. А в одной из древнегреческих комедий герой говорит, что предпочитает вычислять приходящиеся с него налоги на пальцах. Древние люди научились также умножать на пальцах однозначные числа от 6 до 9.

На Руси был распространен такой способ счета на пальцах: пронумеруйте мысленно пальцы на обеих руках. Мизинец - 6, безымянный - 7, средний - 8, указательный - 9, большой – 10. Допустим, вы хотите узнать, сколько будет 8 х 7. Соедините вместе средний палец левой руки (8) с безымянным пальцем правой (7). А теперь считайте. Два соединённых пальца плюс те, что под ними, указывают на количество десятков в произведении. В данном случае - 5. Число пальцев, оказавшихся над одним из сомкнутых пальцев, умножьте на число пальцев над другим сомкнутым пальцем. В нашем случае 2 х 3 = 6. Это - число единиц в искомом произведении. Десятки складываем с единицами, и ответ готов - 56. Проверьте остальные варианты, и вы убедитесь, что этот старинный русский способ сбоев не даёт.

Полное описание пальцевого счета составил ирландский монах Беда Достопочтенный, живший в VII - VIII веках новой эры. Он подробно изложил способы представления на пальцах различных чисел вплоть до миллиона. Кое-где пальцевой счет сохранился даже сегодня. Например, на крупнейшей в мире чикагской хлебной бирже маклеры на пальцах, не произнося ни единого слова, сообщают о предложениях, запросах, ценах на товары. А китайские купцы торговались, взяв друг друга за руки и указывая цену нажатием на определенные суставы пальцев. Не отсюда ли произошли слова «ударить по рукам», означавшие когда-то заключение торговой сделки?

С появлением первых государств Древнего Египта, Междуречья, Китая, Древнего Рима, государств Америки пришлось выполнять вычисления с очень большими числами – ведь приходилось рассчитывать налоги, поступление в казну военной добычи, дань покоренных государств, обсчитывать строительство дорог, храмов. Купцы вели учет товаров, полученной прибыли и т.д. В те времена появилась даже государственная должность для тех, кто вел расчеты – писец. Чем больше были числа и сложнее расчеты, тем больше было шансов запутаться и ошибиться. А наиболее сложные расчеты требовалось проводить сначала жрецам, а затем и ученым для астрономических расчетов – движение луны, звезд, солнца от которых зависело сельское хозяйство, урожай и благосостояние всего государства!

Как древние инженеры, математики и астрономы смогли создавать механизмы и делать вычисления, которые даже сегодня считаются сложными?

Счетные приспособления.

В древних государствах на писцов – людей, которые выполняли расчеты, – была возложена очень непростая задача – они должны были вести учет государственных доходов и расходов, а это всегда были очень большие числа, которые трудно сосчитать в уме. И вот тут древние люди проявили потрясающую изобретательность – они создали ручные приспособления для счета:

одним из первых был абак – его изобрели в Древнем Египте, он был также известен и в Вавилоне, затем его заимствовали греки и римляне. Его устройство в разное время и в разных местах менялось, но основная идея, заложенная в это приспособление, состояла в следующем: это была доска с продольными желобками, в которых размещались первоначально камешки, а в более поздние времена - особые жетоны. Так как у римлян камешек называли калькулюс (сравните с русским словом «галька») , то счет на абаке получил название калькуляция . И сейчас подсчет цен на товары называют калькуляцией, а человека, выполняющего этот подсчет,- калькулятором . На абаке крайний правый желобок служил для единиц, следующий - для десятков и т. д.

Похожее устройство счета применялось в Древнем Китае – суань-пан и Японии – соробан . Только не камушки перекладывались в желобках, а бусины передвигались на проволоках. С помощью китайского суань-пана можно даже было извлекать корни!

Древние майя также использовали приспособление, похожее на маленькую модель крепости – юпана – где за основу счета было взято число 40, а не 10 как в Европе.

счеты появились на Руси в 16-м веке и вполне эффективно применялись до конца 20-го. Они до сих пор очень удобны для слепых.

Шкода Любовь Викторовна

1 из 20

Презентация на тему:

№ слайда 1

Описание слайда:

№ слайда 2

Описание слайда:

№ слайда 3

Описание слайда:

Первобытныенародысчитают Первыми понятиями математики были "меньше", "больше" и "столько же". Если одно племя меняло пойманных рыб на сделанные людьми другого племени каменные ножи, не нужно было считать, сколько принесли рыб и сколько ножей. Достаточно было положить рядом с каждой рыбой по ножу, чтобы обмен между племенами состоялся. Ещё недавно существовали племена, в языке которых были названия только двух чисел: один и два. Туземцы считали так: 1 - «урапун» 2 - «окоза» 3 - «окоза - урапун» 4 - «окоза - окоза» 5 - «окоза - окоза - урапун». . . . .Все остальные числа - «МНОГО» ! Видно, что люди освоили только небольшое количество целых чисел.

№ слайда 4

Описание слайда:

Многие русские пословицы говорят о том, что так же делообстояло и у наших предков:«У семи нянек дитя без глаза»«Семь бед - один ответ»«Семеро одного не ждут»«Семь раз отмерь, один раз отрежь» Число употребляется в смыслеТуземцы Новой Гвинеи загибают один за другим пальцы руки, приговаривая «бе - бе - бе…». Досчитав до ПЯТИ, говорит «ибон - бе» (РУКА). Затем загибают пальцы другой руки «бе - бе..», пока не доходит до «ибон - али» (ДВЕ РУКИ). Для дальнейшего счёта используются пальцы ног, а затем….руки и ноги кого-нибудь другого!

№ слайда 5

Описание слайда:

Люди постепенно привыкали при счёте располагать предметыустойчивыми группами по два, по десять или по двенадцать. Но отдельных имён у чисел ещё не было.У туземцев Флоридыслово «на-куа» означало 10 яиц, «на-банара» - 10 корзин, нослово «на», которое, казалось бы, соответствовало числу 10,отдельно не употреблялось.Числа начинают получать имена Однако, у большинства народов числа, которыми считали «деньги» (а в качестве денег в основном служил скот), постепенно вытеснили все остальные. Они-то и стали темиуниверсальными числами, которые позволили считатьлюбые предметы.

№ слайда 6

Описание слайда:

Так, индивидуальные названия получили числа меньше 10, а также десять, сто, тысяча.Операции над числами С операциями сложения и вычитания люди имели дело задолго до того, как числа получили имена. Когда несколько групп сборщиков кореньев или рыболовов складывали в одно место свою добычу, они выполняли операцию сложения. С операцией умножения люди познакомились, когда стали сеять хлеб и увидели, что собранный урожай в несколько раз больше, чем количество посеянных семян. Говорили: собрали урожай "сам-двадцать", т. е. в двадцать раз больше собрали, чем посеяли. Наконец, когда добытое мясо животных или собранные орехи делили поровну между всеми "ртами", выполнялась операция деления.

№ слайда 7

Описание слайда:

Древняя ГрецияВ середине V в. до н.э. В Малой Азии, где были древнегреческие колонии, появилась система счисления нового типа -алфавитная нумерацияЕё обычно называют ионийской. В этой системе числа обозначались при помощи буквалфавита, над которыми ставились черточки. Первые девять букв обозначали числа от 1 до 9, следующие девять 10, 20...90 и следующие девять-числа 100, 200..900. Так можно было обозначать любое число до 999.

№ слайда 8

Описание слайда:

Для тысяч употреблялись опять первые девять букв, но - с косой черточкой слева внизу. Для числа 10000 употреблялся знак М, это число называлось МИРИАДОЙНад знаком ставилось число,обозначающее количество мириад. Так можно было обозначить все числа до мириады мириад, т.е. 108. Великий математик, механик и инженер древностиАРХИМЕД (III в. до н.э.)посвятил целое сочинение тому, чтобы дать общий приёмнаименования сколь угодно больших чисел.

№ слайда 9

Описание слайда:

Часто в сказках встречается «неразрешимая» задача:сосчитать, сколько звёзд на небе, капель в море или сколько песчинок на земле. Архимед показал, что такие задачи можно решать. Своё сочинение он так и назвал"Исчисление песка"(«Псаммит»). Чтобы решить поставленную задачу, Архимед все числа меньше мириады мириад объединяет в первую и называет их первыми числами. Вторые числа от 108 до 1016 …И далее можно наращивать разряды. Способ Архимеда близок к позиционному, НО понадобилось ещё около 1000 лет,прежде чем человечеству удалось создать десятичную позиционную систему счисления.

№ слайда 10

Описание слайда:

ЦИФРЫ В ДРЕВНЕМ РИМЕОстальные числа записываются при помощи этих символов с применением сложения и вычитания. Число 444 запишется в римской системе так Эта форма записи менее удобна, чем та, которой мы пользуемся. Запись чисел получается намного длиннее. В римской системе есть и еще один существующий недостаток: она не дает способа для записи сколь угодно больших чисел. В римской системе имеются специальные знаки для:I - 1 VI - 6II - 2VII - 7III - 3VIII - 8IV - 4IX - 9V - 5X - 10 L - 50D - 500C - 100M -1000

№ слайда 11

Описание слайда:

Шумерская клинопись Вот принес земледелец выращенный им лук сборщику податей в деревне стран Шумер. "Сум!"- сказал сборщик, потому что "сум" по-шумерски значило «лук»- и нарисовал пучок лука на сырой глиняной табличке, которую держал в руке. Шумерские счетоводы годами рисовали рыб и птиц, скот и растения. Четкие плавные линии требовали много труда, да и все равно они плохо сохраняли свою форму. Потом все знаки стали чертить на глине так, что они оказались повернутыми набок. Почему так получилось? Дело в том, что сначала писали на глине столбцами сверху вниз и каждый следующий столбец начинали левее предыдущего. Но при этом рукой смазывали то, что было написано перед этим. Поэтому плитку стали поворачивать на четверть оборота и стали писать те же самые знаки строчками, слева направо (и каждую следующую строку начинали ниже предыдущей).

№ слайда 12