Презентация по математике «Числовые неравенства и их свойства. Презентация по математике «Числовые неравенства и их свойства Какое из двух положительных чисел больше

В курсе алгебры 8 класса важную роль играет тема «Неравенства». Поэтому крайне важно ее глубокое изучение. На основе данной теории решается ряд сложнейших задач, причем, не только в курсе алгебры, но и в других науках.

Данная презентация предназначена для изучения свойств числовых неравенств. Причем, до того урока, на котором будет рассмотрена данная презентация, следует провести урок, где будут даны сами свойства. Для этого можно здесь же взять презентацию «Свойства числовых неравенств. Часть1», где дана вся теория по данной теме. Здесь же вы можете найти много разных примеров, где применимы изученные свойства. Итак, подробнее.

слайды 1-2 (Тема презентации "Свойства числовых неравенств. Часть 2", свойство)

Первый пример показывает, как доказать неравенство с помощью определения понятия неравенства и некоторый операций с дробями.

Следующий пример также показывает доказательство неравенства, которое немного сложнее. Чтобы доказать неравенство, нужно применить знания и умения того, как складываются дроби с числами. То есть нужно уметь приводить дроби к общему знаменателю и складывать их. И опять же в ход идет определение, которое говорит, что если из левой части неравенства вычесть правую при знаке больше, то должно получиться положительное значение, к чему автор и приходит в результате. А значит, неравенство доказано.

слайды 3-4 (свойства)

В третьем примере требуется отыскать оценки чисел, которых дается семь штук, если даны какие-то определенные условия. Если идти по порядку, то можно заметить, что при решении этих примеров применяются сразу несколько свойств. Это свойство умножения неравенства на положительное и отрицательное число, сложение и вычитание двух неравенств, возведение в степень. Каждый пример автор рассматривает довольно подробно, что позволяет хорошенько усвоить предлагаемый материал и закрепить его на примерах.

слайды 5-6 (свойства)

Следующий, четвертый пример уже сложнее предыдущих. Здесь присутствует квадратный корень. При доказательстве автор снова использует определение неравенств. Другими словами, он находит разность между левой и правой частями неравенства и определяет знак. В ходе доказательства, когда найден общий знаменатель, в числителе получается выражение, которое можно свернуть по формуле квадрата разности двух выражений.

В результате получается положительное выражение, что подтверждает знак неравенства. Но тут знак нестрогий, поэтому автор проверяет условие равенства. В итоге получается, что для того, чтобы выражения были равны, оба данный в условии числа должны быть равными, но по условию этого не оговаривается. Поэтому неравенство имеет знак строго больше при разных значениях чисел a и b.

слайды 7-8 (свойства)

Далее автор этот пример демонстрирует наглядно. То есть левая часть данного неравенства является средним арифметическим заданных чисел, а правая - средним геометрическим этих же самых чисел. Отсюда следует, что среднее арифметическое двух неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического. А это и есть неравенство Коши. Здесь же автор обращает внимание на замечание, которое продемонстрировано на рисунке.

В последнем, пятом примере автор предлагает сравнить числа. Но эти числа не простые. Здесь имеется сумма, где одним из слагаемых является квадратный корень числа. Поэтому здесь без свойств никак не обойтись, чтобы выполнить задание. В данном примере два случая. В первом случае автор предлагает оба числа возвести в квадрат, что позволяется свойствами, изученными ранее. В результате получаются новые числа, которые отличаются тем, что к одному и тому же числу 9 прибавляется разное число. Остается сравнить уже эти два числа. Во втором же случае автор предлагает сравнить слагаемые попарно из обеих частей неравенства. Получается, что первое и второе слагаемые первого числа меньше соответственно первого и второго слагаемых второго числа. Поэтому знак очевиден.

слайд 9 (свойства)

Презентация может быть использована на уроке изучения нового материала в качестве примера, где могут применяться изученные свойства. Также презентация подходит для урока закрепления изученного на прошлом уроке материала. Подойдет она и для факультативного или внеклассного занятия. По желанию учителя презентация может быть дополнена.

Математику нельзя изучать,

наблюдая

как это делает сосед.

А. Нивен

Свойства

числовых

неравенств

(8 класс)

в, то в a. Свойство 2 Если а. Свойство 3 Если a Свойство 4 Если a Если а вс. Следствие: Если а и в – положительные числа и а " width="640"

Свойства числовых неравенств

Свойство 1 Если а в, то в a.

Свойство 2 Если а .

Свойство 3 Если a

Свойство 4 Если a

Если а вс.

Следствие: Если а и в – положительные числа и а

p, n m, n Сравнить: p и n , p и q, q и m. р m n q p m № 749 (б,г) б) a – 8 b – 8 и a b – 8 , ab, т. к. a b и a то a и b – отрицательные числа г) - 2а -2в и в - - 2а - 2в разделим на (-2), получим а а и в – отрицательные числа № 750(а, в) № 751(б, г, д) а) 18 -7, в) - 9 б) а 13 -12; -18 20,7 - 4,3; 9 -21; 3а 25 0. - 3 7. - 4,8а - 4,8в. № 764 (на повторение) - = а) - = 2; = 0 32х² - 12 – 25 + 45х² = 40; 77х² = 77; х = ± 1 20 – 3х – 6 - х² + 4 = 0; Ответ: х = ±1 х² + 3х – 18 = 0, Д = 81 , X= х₁ = - 6; х₂ = 3. " width="640"

Проверка домашнего задания

• № 747 m,n,p,q- некоторые числа.

Сравнить: p и n , p и q, q и m.

• № 749 (б,г)

б) a – 8 b – 8 и a b – 8 , ab, т. к. a b и a

то a и b – отрицательные числа

г) - 2а -2в и в -

2а - 2в разделим на (-2), получим а

а и в – отрицательные числа

• № 750(а, в) № 751(б, г, д)

а) 18 -7, в) - 9 б) а

13 -12; -18

20,7 - 4,3; 9 -21; 3а

25 0. - 3 7. - 4,8а - 4,8в.

• № 764 (на повторение)

32х² - 12 – 25 + 45х² = 40;

77х² = 77; х = ± 1 20 – 3х – 6 - х² + 4 = 0;

Ответ: х = ±1 х² + 3х – 18 = 0, Д = 81 ,

х₁ = - 6; х₂ = 3.

0 Неравенство верно для любого х " width="640"

Задание 1. Верно ли при любом х неравенство:

(6 + 2х) (6 – 2х)-х = 3 (2 х – 1)

х² + 6х + 9 – 6х + 3 = х² +120

Неравенство верно для любого х

в, то в в с 6. Если а и в - положительные числа и а " width="640"

Задание 2 Закончите математические высказывания: 1. Если А в, то в в с 6. Если а и в - положительные числа и а

Задание 3 - Диктант. Известно, что а . Используя свойства неравенств, запишите верное неравенство, которое получится, если:

• К обеим частям этого неравенства прибавить число 8
• К обеим частям этого неравенства прибавить число -3,4
• Обе части этого неравенства умножить на 4
• Обе части этого неравенства умножить на - 4,7
• Обе части этого неравенства разделить на 6
• Обе части этого неравенства разделить на -2
• Обе части этого неравенства умножить на 0,2 и вычесть 8
• Обе части этого неравенства умножить на - 6 и прибавить 5,2

-4,7в; 0,2а - 8 - 6а + 5,2 - 6в + 5,2. " width="640"

Отвeты

• а + 8
• а - 3,4
• - 4,7а -4,7в;
• 0,2а - 8
• - 6а + 5,2 - 6в + 5,2.

d, -7с б) , по теореме 4 в) 2с + 11 2d + 11, по теореме 3,4. № 752(а, б) а) а - 12,7в; б) № 757(а, б, г) Дано: 3 . Оцените значение выражения: а) 5а; б) –а; г) 5 – а. а) 15 б) - 3 -а -4 или -4 г) -4 -а -3, (+5) 5-4 5-а 5-3 1 " width="640"

Решение упражнений

• № 754(а, б, в)

а) с d, -7с

б) , по теореме 4

в) 2с + 11 2d + 11, по теореме 3,4.

• № 752(а, б )

а) а - 12,7в;

№ 757(а, б, г)

• Дано: 3 . Оцените значение выражения:

а) 5а; б) –а; г) 5 – а.

а) 15

б) - 3 -а -4 или -4

г) -4 -а -3, (+5)

5-4 5-а 5-3

Домашнее задание

п.29, № 752(в, г),

№ 754(г, д, е),

№ 757(в, д)

Самостоятельная работа Вариант 1 1. Дайте определение, что число a больше числа b 2.Сравните: а) б) а и 8 а 3. Докажите неравенство (а – 3)(а + 9)

Теорема 1 Если а>b, то b b, то b b, то b b, то bb, то b
4a" title="Если a и b положительные числа и a < b, то Пример 1 Оцените периметр квадрата со стороной a см, если известно, что 18,1 < a < 18,2 Пример 2 Доказать неравенство a 2 + 5 > 4a" class="link_thumb"> 4 Если a и b положительные числа и a 4a 4a"> 4a"> 4a" title="Если a и b положительные числа и a 4a"> title="Если a и b положительные числа и a 4a">

В классе (г) (в,г) д/з п (а,б)

B и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна" title="1. Если a > b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна" class="link_thumb"> 6 1. Если a > b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то знак неравенства не изменится. Например, 6 > 4, тогда > Если a + c > b, то a > b - c. Любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменяя при этом знак слагаемого на противоположный. Например, > 4, тогда 5 > 4 – 10. b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна"> b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то знак неравенства не изменится. Например, 6 > 4, тогда 6 + 3 > 4 + 3. 3. Если a + c > b, то a > b - c. Любое слагаемое можно переносить из одной части неравенства в другую, изменяя при этом знак слагаемого на противоположный. Например, 5 + 10 > 4, тогда 5 > 4 – 10."> b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна" title="1. Если a > b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна"> title="1. Если a > b и b > c, то a > c. Например, 6 > 4 и 4 > -1, тогда 6 > -1. Аналогично, если c b, то a + c > b + c. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число (положительное или отрицательное), то зна">

B и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c 7 a b 4. Если a > b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > b и c 4, тогда 9 (-2) b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c 4, тогда 9 (-2) b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c title="a b 4. Если a > b и c > 0, то ac > bc и. c Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится. Например, 3 > 1, тогда 3 5 > 1 5. 7 b и c

B и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже" title="5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже" class="link_thumb"> 8 5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда > Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака. Например, 12 > 5 и 3 > 2, тогда 12 3 > 5 2. b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже"> b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умножении неравенств одинакового знака, у которых левые и правые части положительны, получается неравенство того же знака. Например, 12 > 5 и 3 > 2, тогда 12 3 > 5 2."> b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже" title="5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже"> title="5. Если a > b и c > d, то a + c > b + d. При сложении неравенств одинакового знака получается неравенство того же знака. Например, 8 > 5 и 4 > 1, тогда 8 + 4 > 5 + 1. 6. Если для положительных чисел a, b, c, d: a > b и c > d, то a c > b d. При умноже">