Квадратичный трехчлен функция и ее график. Квадратный трёхчлен

График квадратного трехчлена

2019-04-19

Квадратный трехчлен

Квадратным трехчленом мы назвали целую рациональную функцию второй степени:

$y = ax^2 + bx + c$, (1)

где $a \neq 0$. Докажем, что графиком квадратного трехчлена является парабола, получаемая параллельными сдвигами (в на правлениях координатных осей) из параболы $y = ax^2$. Для этого приведем выражение (1) путем простых тождественных преобразований к виду

$y = a(x + \alpha)^2 + \beta$. (2)

Соответствующие преобразования, записанные ниже, известны как «выделение точного квадрата»:

$y = x^2 + bx + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x \right) + c = a \left (x^2 + \frac{b}{a} x + \frac {b^2}{4a^2} \right) - \frac {b^2}{4a} + c = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$. (2")

Мы привели квадратный трехчлен к виду (2); при этом

$\alpha = \frac{b}{2a}, \beta = - \frac {b^2 - 4ac}{4a}$

(эти выражения не следует запоминать, удобней всякий раз выполнять преобразование трехчлена (1) к виду (2) непосредственно).

Теперь видно, что график трехчлена (1) - парабола, равная параболе $y = ax^2$ и получаемая сдвигами параболы $y = ax^2$ в направлениях осей координат на $\alpha$ и $\beta$ (с учетом знака $\alpha$ и $\beta$) соответственно. Вершина этой параболы помещается в точке $(- \alpha, \beta)$, ее осью служит прямая $x = - \alpha$. При $a > 0$ вершина - наинизшая точка параболы, при $a
Проведем теперь исследование квадратного трехчлена, т. е. выясним его свойства в зависимости от числовых значений коэффициентов $a, b, с$ в его выражении (1).

Обозначим в равенстве (2") величину $b^2- 4ac$ через $d$:

$y = a \left (x + \frac{b}{2a} \right)^2 - \frac{d}{4a}$; (4)

$d = b^2 - 4ac$ называется дискриминантом квадратного трехчлена. Свойства трехчлена (1) (и расположение его графика) определяются знаками дискриминанта $d$ и старшего коэффициента $a$.

1) $a > 0, d 0$; так как $a > 0$, то график расположен выше вершины $O^{ \prime}$; он лежит в верхней полуплоскости ($y > 0$ - рис а.).

2) $a
3) $a > 0, d > 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит ниже оси $Ox$, парабола пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис в.).

4) $a 0$. Вершина $O^{ \prime}$ лежит выше оси $Ox$, парабола снова пересекает ось $Ox$ в двух точках $x_1, x_2$ (рис. г).

5) $a > 0, d = 0$. Вершина лежит на самой оси $Ox$, парабола расположена в верхней полуплоскости (рис. д).

6) $a
Выводы. Если $d 0$), либо ниже (при $a
Если $d > 0$, то функция знакопеременная (график частью лежит ниже, частью выше оси $Ox$). Квадратный трехчлен с $d > 0$ имеет два корня (нуля) $x_1, x_2$. При $a > 0$ он отрицателен в интервале между корнями (рис. в) и положителен вне этого интервала. При $a

Из школьного курса математики известно, что под квадратным трехчленом понимается выражение вида

ax 2 + bx + c, где a ≠ 0.

Корни этого трехчлена вычисляются по формуле: Х 1,2 = (-b ± √D) / (2a), где D = b 2 – 4ac.

D называют дискриминантом . Он имеет важнейшее значение для решения задач по данной теме, так как по нему определяется количество корней трехчлена.

Их два – если D > 0, один – если D = 0 (иногда говорят два одинаковых, т.е. х 1 = х 2 = -b/(2a)), и если D < 0, то действительных корней нет.

Функцию вида (*) у = ax 2 + bx + c , где a ≠ 0 называют квадратической. Ее график – парабола, ветви которой направлены вверх, если a > 0 и вниз если a < 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Точка пересечения параболы с осью ОУ – с. Легко определить координаты вершины параболы (m ;n).

m = (x 1 + x 2)/2 или (**) m = -b/(2a).

n можно вычислить путем подстановки значения m вместо х в формулу

у = ax 2 + bx + c, или же воспользоваться формулой y = -D/(4a).

Если в квадратном трёхчлене выделить полный квадрат, то m и n в записи будут присутствовать в явном виде: (***) y = a(x – m) 2 + n.

Здесь изложен практически весь справочный материал, необходимый для решения задач по заявленной теме. Рассмотрим некоторые примеры заданий.

Пример 1.

При каких значениях а вершина параболы y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 лежит во второй четверти координатной плоскости?

Решение.

Квадратичная функция записана в форме выделенного полного квадрата (***).

Тогда ясно, что m = 13a и n = -a 2 + 6a + 16. Чтобы вершина с координатами (m; n) лежала во второй четверти необходимо, чтобы m < 0, n > 0. Условия должны удовлетворяться одновременно. Следовательно, решаем систему неравенств:

{13a < 0,
{-a 2 + 6a + 16 > 0

Из первого неравенства имеем a < 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Ответ: при всех а Є(-2: 0) или при -2 < a < 0.

Пример 2.

При каких значения параметра а наибольшее значение функции y = ax 2 – 2x + 7a равно 6?

Решение.

Квадратическая функция будет иметь наибольшее значение лишь, если ветви параболы направлены вниз (т.е. a < 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .

Тогда n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; или 7a 2 – 1 = 6a.

Решив полученное уравнение имеем a = 1 или a = -1/7. Но a = 1 не удовлетворяют первому условию.

Ответ: при a = -1/7.

Пример 3.

Найти количество целых значений параметра а, при которых уравнение
а) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 имеет 4 корня.

Решение.

а) Здесь наиболее короткий способ решения – графический. План таков:

1. Строим график функции у = x 2 – 8x + 7 (парабола).

2. Затем у = |x 2 – 8x + 7| (отображаем нижнюю часть графика относительно ОХ).

Дальнейший ход решения очевиден из рисунка. Прямая пересечет график в четырех точках, если 0 < a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Ответ: 4.

b) Решение этого примера осуществляется по такой же схеме. Разница лишь в том, что при построении графика функции у = |x 2 – 6|x| – 16| придется сделать два отображения: относительно ОХ нижней части графика и относительно ОУ – правой. Если вы правильно построите график, то легкообнаружите 7 решений:
а = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Пример 4.

При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а лежит выше оси абсцисс?

Решение.

Проведём следующие рассуждения. График квадратного трёхчлена будет лежать выше оси ОХ только в том случае когда ветви параболы направлены вверх, т.е

а > 0 (*), и ось ОХ парабола не пересекает, т.е. D < 0 или

(а – 3) 2 – 4а 2 < 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) > 0 → а Є (-∞; -3) или (1; ∞). С учётом условия (*) получим а Є (1; ∞).

Ответ: а Є (1; ∞).

Пример 5.

При каких значениях а график квадратного трёхчлена у = аx 2 + (а – 3)x + а имеет две общие точки с положительной частью оси ОХ?

Решение.

Разберемся с условиями для коэффициентов: (рисунок смотрим ниже)

1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Точки окажутся с одной стороны от нуля, если ветви направлены вверх и f(0) = a > 0 или в случае, когда ветви направлены вниз и f(0) = a < 0

3. Оба корня будут положительны, если координата х вершины положительна, т.е. m = -(a – 3)/(2a) > 0.

Исходя из выше изложенного, наши условия сведутся к решению двух систем:

Первая система:

{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a > 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0

Упростив, получаем:

{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a > 0,
{(a – 3) < 0

{а Є (-3; 1),
{а Є (0; ∞),
{а Є (-∞; 3)

и общее решение системы а Є(0; 1).

Вторая система:

{(a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
{a < 0,
{-(a – 3)/(2a) > 0

Упростив, получаем:

{(3a – 3)(a + 3) < 0,
{a < 0,
{(a – 3) > 0

Решения каждого из неравенств:

{а Є (-3; 1)
{а Є (-∞; 0)
{а Є (3; ∞)

и система не имеет решений

Таким образом, наша парабола имеет две общие точки с положительным направлением оси ОХ, если параметр а Є (0; 1).

Пример 6.

При каких значениях а корни уравнения 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 = 0 больше 3?

Рассматриваем график квадратного трёхчлена у = 4а 2 х 2 – 8ах + 4 – 9а 2 .

План решения этого задания построим по образцу предыдущего примера.

1. Две точки пересечения с осью ОХ получим, если D > 0 и а ≠ 0.

2. Ветви здесь всегда направлены только вверх
(при а ≠ 0; 4а 2 > 0).

3. Точки окажутся с одной стороны от 3, если f(3) > 0.
(36а 2 – 24а + 4 – 9а 2 > 0).

4. Оба корня будут больше (правее) трех, если координата х вершины больше (правее) трех, т.е. m = 8а/(8a 2) > 3.

Если вы правильно воспользуетесь этими условиями, то ответ получите такой: а Є(0;2/9). Проверьте.

Надеюсь, теперь читателю становится ясно, как важно уметь хорошо видеть свойства параболы при решении задач данного типа.

Остались вопросы? Не знаете, как решать квадратные уравнения?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вводные замечания и простейшие примеры

Пример 1. При каких значениях a уравнение ax 2 + 2x + 1 = 0 имеет два различных корня?

Решение.

Данное уравнение является квадратным относительно переменной x при a № 0 и имеет различные корни, когда его дискриминант

т. е. при a < 1.

Кроме того, при a = 0 получается уравнение 2x + 1 = 0, имеющее один корень.

Таким образом, a О (– Ґ ; 0) И (0; 1).

Правило 1. Если коэффициент при x 2 многочлена второй степени содержит параметр, необходимо разбирать случай, когда он обращается в нуль.

Пример 2. Уравнение ax 2 + 8x + c = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и c?

Решение. Начнем решение задачи с особого случая a = 0, уравнение имеет вид 8x + c = 0. Это линейное уравнение имеет решение x 0 = 1 при c = – 8.

При a № 0 квадратное уравнение имеет единственный корень, если

Кроме того, подставив корень x 0 = 1 в уравнение, получим a + 8 + c = 0.

Решая систему двух линейных уравнений, найдем a = c = – 4.

Теорема 1.

Для приведенного квадратного трехчлена y = x 2 + px + q (при условии p 2 і 4q)
сумма корней x 1 + x 2 = – p, произведение корней x 1 x 2 = q, разность корней равна
а сумма квадратов корней x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

Теорема 2.

Для квадратного трехчлена y = ax 2 + bx + c с двумя корнями x 1 и x 2 имеет место
разложение ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2), для трехчлена с одним корнем x 0 – разложение
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

Замечание. Часто про квадратные уравнения с дискриминантом, равным нулю и имеющим, соответственно, один корень, говорят, что оно имеет два совпадающих корня (?). Это связано с разложением многочлена на множители, приведенным в теореме 2. (Правильно говорить и понимать в этом случае нужно «один корень кратности два». – Прим. ред.)

Будем обращать внимание на эту тонкость и выделять случай единственного корня кратности 2.

Пример 3. В уравнении x 2 + ax + 12 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.

Решение. Разность корней
откуда a = ± 7.

Пример 4. При каких a сумма квадратов корней уравнения 2x 2 + 4x + a = 0 равна 6?

Решение. Запишем уравнение в виде
откуда x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 и a = – 2.

Пример 5. При всех a решить уравнение ax 2 – 2x + 4 = 0.

Решение. Если a = 0, то x = 2. Если a № 0, то уравнение становится квадратным. Его дискриминант
равен D = 4 – 16a. Если D < 0, т. е. a > ,
уравнение решений не имеет. Если D = 0, т. е. a = ,
x = 4. Если D > 0, т. е. a < ,
уравнение имеет два корня

Расположение корней квадратного трехчлена

Графиком квадратного уравнения является парабола, а решениями квадратного уравнения – абсциссы точек пересечения этой параболы с осью Ox. Основой решения всех задач этого параграфа является изучение особенностей расположения парабол с заданными свойствами на координатной плоскости.

Пример 6. При каких a корни уравнения x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеют разные знаки?

Решение (рис. 1).

Квадратное уравнение либо не имеет решений (график – парабола вида D), либо имеет один или два положительных корня (парабола C), либо имеет один иди два отрицательных корня (парабола A), либо имеет корни разных знаков (парабола B).

Легко сообразить, что последний тип парабол, в отличие от прочих, характеризуется тем, что f(0) < 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Данное решение допускает обобщение, которое мы сформулируем как следующее правило.

Правило 2. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0

имело два разных корня x 1 и x 2 таких, что x 1 < M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Пример 7. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных корня одного знака?

Решение. Нас интересуют параболы типа A и C (см. рис. 1). Они характеризуются тем, что

откуда a О (– 6; – 2) И (3; + Ґ ).

Пример 8. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 имеет два разных положительных корня?

Решение. Нас интересуют параболы типа C на рис. 1.

Чтобы уравнение имело корни, потребуем

Так как оба корня уравнения по условию должны быть положительными, то и абсцисса вершины параболы, лежащая между корнями, положительна: x 0 = a > 0.

Ордината вершины f(x 0) < 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) > 0, то в силу непрерывности исследуемой функции найдется точка x 1 О (0; x 0) такая, что f(x 1) = 0. Очевидно, что это меньший корень уравнения.

Итак, f(0) = a 2 – a – 6 > 0, и, собирая все условия вместе, получим систему

с решением a О (3; + Ґ ).

Пример 9. При каких a уравнение x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 имеет два разных отрицательных корня?

Решение. Изучив параболы типа A на рис. 1, получим систему

откуда a О (– 6; – 2).

Обобщим решение предыдущих задач в виде следующего правила.

Правило 3. Для того чтобы уравнение ax 2 + bx + c = 0 имело два разных корня x 1 и x 2 , каждый из которых больше (меньше) M, необходимо и достаточно, чтобы

Пример 10. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.

Решение. Все возможные решения данного уравнения получаются как решения квадратного уравнения

x 2 – (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

с дополнительным условием, что хотя бы один (очевидно, больший) корень x 2 і a.

Естественно, чтобы уравнение имело корни, должно быть = – 5(a + 2) і 0,
откуда a Ј – 2.

Графиком левой части выделенного уравнения является парабола, абсцисса вершины которой равна x 0 = 2a + 7. Решение задачи дают два типа парабол (рис. 2).

A: x 0 і a, откуда a і – 7. В этом случае больший корень многочлена x 2 і x 0 і a.

B: x 0 < a, f(a) Ј 0, откуда .
В этом случае также больший корень многочлена x 2 і a.

Окончательно .

Три решения одного неравенства

Пример 11. Найти все значения параметра a, при которых неравенство x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется:

1) при всех значениях x;
2) при всех положительных значениях x;
3) при всех значениях x О [– 1; 1].

Решение.

Первый способ.

1) Очевидно данное неравенство выполняется при всех x, когда дискриминант отрицателен, т. е.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3 < 0,

откуда a >.

2) Чтобы лучше понять то, что требуется в условии задачи, применим простой прием: на координатной плоскости нарисуем какие-нибудь параболы, а потом возьмем и закроем левую относительно оси Oy полуплоскость. Та часть параболы, которая останется видимой, должна быть выше оси Ox.

Условие задачи выполняется в двух случаях (см. рис. 3):

< 0, откуда a > ;

B: оба корня (может быть, один, но двукратный) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее начала координат. По правилу 3 это условие эквивалентно системе неравенств D і 0, x 0 Ј 0 и f(0) і 0.

Однако при решении данной системы первое неравенство можно опустить, так как если даже какое-то значение a не удовлетворяет условию D і 0, то оно автоматически попадает в решение пункта A. Таким образом, решаем систему

откуда a Ј – 3.

Объединяя решения пунктов A и B, получим

ответ:

3) Условие задачи выполняется в трех случаях (см. рис. 4):

A: график функции y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 лежит выше оси Ox, т. е. D < 0, откуда a > ;

B: оба корня (может быть, один кратности 2) уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся левее – 1. Это условие эквивалентно, как мы знаем из правила 3, системе неравенств D і 0, x 0 < – 1, f(– 1) > 0;

C: оба корня уравнения x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 находятся правее 1.
Это условие эквивалентно D і 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Однако в пунктах B и C, также как и в решении предыдущей задачи, неравенство, связанное с дискриминантом, можно опустить.

Соответственно получаем две системы неравенств

Рассмотрев все случаи, получим результат: a >
в пункте
в C.
Ответ задачи – объединение этих трех множеств.

Второй способ. Для того чтобы выполнялось условие каждого из трех пунктов задачи, наименьшее значение функции
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 на каждом из соответствующих промежутков должно быть положительно.

1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 находится в точке (a; 2a – 3), поэтому наименьшее значение функции на всей числовой прямой равно 2a – 3, и a > .

2) на полуоси x і 0 наименьшее значение функции равно f(0) = a 2 + 2a – 3, если a < 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Разбирая оба случая, получим

3) Наименьшее на отрезке [– 1; 1] значение функции равно

Поскольку наименьшее значение должно быть положительно, получаем системы неравенств

Решение этих трех систем – множество

Третий способ. 1) Вершина параболы y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

находится в точке (a; 2a – 3). Нарисуем на координатной плоскости множество, которое образуют вершины всех парабол при различных a (рис. 5).

Это – прямая y = 2x – 3. Напомним, что каждой точке этой прямой соответствует свое значение параметра, и из каждой точки этой прямой «выходит» парабола, соответствующая данному значению параметра. Параболы, целиком находящиеся над осью Ox, характеризуются условием 2a – 3 > 0.

2) Решениями этого пункта являются все решения первого пункта, и, кроме того, параболы, для которых a – отрицательны, и f(0) = a 2 + 2a – 3 і 0.

3) Из рис. 5 видно, что нас интересуют параболы, для которых либо a отрицательно и f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
либо a положительно и f(1) = a 2 – 2 > 0.

Уравнения и неравенства, сводящиеся к квадратным

Пример 12. При каких значениях a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 не имеет решений?

Решение. Сделав замену y = x 2 , получим квадратное уравнение f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0.

Полученное уравнение не имеет решения, когда D < 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Эти условия могут быть записаны в виде совокупности

откуда

Пример 13. При каждом значении параметра a решить уравнение cos x sin 2x = asin 3x.

Решение. Так как 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x и sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x,

то уравнение запишется в виде sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0.

Отсюда получаем решения x = p n, n О Z при любом a. Уравнение

имеет решения

не совпадающие с решениями первого уравнения, только при условии

Последние ограничения эквивалентны

Ответ: x = p n, n О Z при любом a; кроме того,

Пример 14. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 выполняется для любого числа x.

Решение. Преобразуем неравенство к виду cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

и сделаем замену t = cos x. Важно заметить, что параметр t пробегает значения от – 1 до 1, поэтому задача переформулируется в таком виде: найти все a такие, что

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

выполняется при всех t О [– 1; 1]. Эту задачу мы уже решили ранее.

Пример 15. Определить, при каких значениях a уравнение log 3 (9 x + 9a 3) = x имеет решения, и найти их.

Решение. Преобразуем уравнение к виду 9 x – 3 x + 9a 3 = 0

и, сделав замену y = 3 x , получим y 2 – y + 9a 3 = 0.

В случае, когда дискриминант отрицательный, уравнение решений не имеет. Когда дискриминант

D = 1 – 36a 3 = 0, уравнение имеет единственный корень ,
и x = – log 3 2. Наконец, когда дискриминант положительный, т. е. ,
исходное уравнение имеет один корень ,
а если, кроме того, выражение 1 – положительно,
то уравнение имеет еще второй корень .

Итак, окончательно получаем

,

решений нет при остальных a.

Пример 16. Для каждого значения параметра a решить уравнение sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Решение. Так как
уравнение перепишем в виде sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0.
Пусть y = sin 2x, тогда y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | Ј 1).

График функции, стоящей в левой части уравнения, – парабола с вершиной, абсцисса которой y 0 = 1; значение функции в точке y = – 1 равно 1 – 2a; дискриминант уравнения равен 8a + 12. Это означает, что больший корень y 2 уравнения y 2 – 2y – 2a – 2 = 0, даже если он существует, больше 1, и соответствующее уравнение sin 2x = y 2 решений не имеет. 3. При каких значениях a уравнение 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 имеет хотя бы один корень?
4. Уравнение ax 2 + bx + 5 = 0 имеет единственный корень, равный 1. Чему равны a и b?
5. При каких значениях параметра a корни квадратного уравнения 5x 2 – 7x + a = 0 относятся как 2 к 5?
6. В уравнении ax 2 + 8x + 3 = 0 определить a таким образом, чтобы разность корней уравнения равнялась единице.
7. При каких a сумма квадратов корней уравнения x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 равна 20?
8. При каких b и c уравнение c + bx – 2x 2 = 0 имеет один положительный и один отрицательный корень?
9. Найти все значения параметра a, при которых один корень уравнения x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 больше a, а другой меньше a.
10. Найти все значения параметра a, при которых уравнение x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 имеет два разных корня одного знака.
11. При каких значениях a все получающиеся корни уравнения (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 положительны?
12. При каких a все получающиеся корни уравнения (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 больше 1?
13. Найти все значения параметра a, для которых оба разных корня уравнения x 2 + x + a = 0 будут больше, чем a.
14. При каких значениях a оба корня уравнения 4x 2 – 2x + a = 0 заключены между – 1 и 1?
15. При каких значениях a уравнение x 2 + 2(a – 1)x + a + 5 = 0 имеет хотя бы один положительный корень?
16. Функция f(x) задается формулой

Найдите все значения параметра a, при которых уравнение f(x) = 0 имеет хотя бы одно решение.
17. При каких a неравенство (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 верно для всех x?
18. При каких значениях параметра a неравенство ax 2 + 2x > 1 – 3a справедливо для всех положительных x?
19. При каких значениях a уравнение x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 не имеет решений?
20. При каких значениях параметра a уравнение 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 имеет одно или два решения?
21. При каждом значении a решить уравнение acos x cos 2x = cos 3x.
22. Найти все значения параметра a, при каждом из которых неравенство cos 2 x + 2asin x – 2a < a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. При всех a решить уравнение log 2 (4 x + a) = x.
24. При каждом значении параметра a решить уравнение sin 2 x + asin 2 2x = sin .

Определение

Параболой называется график квадратичной функции $y = ax^{2} + bx + c$, где $a \neq 0$.

График функции $y = x^2$.

Для схематичного построения графика функции $y = x^2$ найдем несколько точек, удовлетворяющих этому равенству. Для удобства запишем координаты этих точек в виде таблицы:

График функции $y = ax^2$.

Если коэффициент $a > 0$, то график $y = ax^2$ получается из графика $y = x^2$ либо вертикальным растяжением (при $a > 1$), либо сжатием к оси $x$ (при $0 < a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac{x^2}{2}$

Если же $a < 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac{x^2}{2}$

График квадратичной функции.

Для построения графика функции $y = ax^2 + bx + c$ нужно выделить из квадратного трехчлена $ax^2 + bx + c$ полный квадрат, то есть представить его в виде $a(x - x_0)^2 + y_0$. График функции $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ получается из соответствующего графика $y = ax^2$ смещением на $x_0$ вдоль оси $x$, и на $y_0$ вдоль оси $y$. В итоге точка $(0;0)$ переместится в точку $(x_0;y_0)$.

Определение

Вершиной параболы $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ называется точка с координатами $(x_0;y_0)$.

Построим параболу $y = 2x^2 - 4x - 6$. Выделив полный квадрат, получим $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Построим график $y = 2x^2$	Сместим его вправо на 1	И вниз на 8

В итоге получилась парабола с вершиной в точке $(1;-8)$.

График квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ пересекает ось $y$ в точке $(0; c)$ и ось $x$ в точках $(x_{1,2};0)$, где $x_{1,2}$ - корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ (при этом если корней у уравнения нет, то соответствующая парабола не пересекает оси $x$).

Например, парабола $y = 2x^2 - 4x - 6$ пересекает оси в точках $(0; -6)$, $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.